måndag, maj 28, 2007

Oändlig eller utan ände?

Idag tänker jag - både nog och för mycket - på oväsentligheter. Inget som har praktisk vardagsnära betydelse. Kan tyckas. Dagens hjärnspöke heter Paradox som första namn och Oändlighet som andra namn.

Det hela började i morse vid kvart i åtta och ungefär halvvägs till jobbet. Ur cd-spelaren strömmade ut ord om en känd paradox från kvantmekaniken som kallas Schrödingers katt. Det är oviktigt i sammanhanget vem Schrödinger var, det är katten som är intressant. Paradoxen går ut på att en sak kan vara på flera olika sätt samtidigt utan att man kan avgöra vad som är sant eller falskt. Något i stil med om ett träd faller i skogen när ingen hör - hörs det då? eller blir det mörkt i kylskåpet när man har stängt dörren? eller om meningen den här meningen innehåller ett fel är sann eller inte. Hur som helst... Tillbaka till Schrödingers katt. Anta att en katt placeras i en sluten ljudisolerad stållåda som även innehåller en bit radioaktivt ämne med 50% sannolikhet att sönderfalla inom en timme och en mätare kopplad till en hammare som krossar en cyanidampull om det radioaktiva sönderfallet registreras. Om så sker, dör katten omeddelbart. Efter en timme vet man alltså inte om katten är död eller levande, båda alternativen är lika sannolika. Därmed måste man betrakta katten som både död och levande samtidigt. Båda alternativen är sanna och falska samtidigt. Man kan ju som sagt inte veta.

Detta räckte till att sätta hjärncellerna i gungning och utan att fatta hur och varför så satte jag igång och filosoferade om oändligheten och universum och dittenochdatten. Per definition är oändlighet konceptet av obegränsning och obundenhet i storlek, antal eller utsträckning. Så långt förstår man lätt som en plätt. Men sen.

Jag kom att minnas ett litet experiment, vet inte vad det kallas men man behöver en pappersremsa för att utföra det. En pappersremsa har två sidor samt en början och en ände. Om man limmar ihop pappersremsan till en cirkel finns det fortfarande två sidor på remsan, den är fortfarande tredimensionell (tror jag). Men limmar man ihop pappersremsan till en åtta, dvs oändlighetssymbolen, blir det plötsligt bara en sida på remsan och den har inte längre någon början och någon ände. Är den då ändlig eller oändlig? Vart har den ena sidan tagit vägen? Att något är oändligt är inte samma sak som att det är obegränsat, det ska man komma ihåg. Och det kommer jag ihåg, konstigt nog, liksom det att Jordens yta är tvådimensionell och ändlig, fast den egentligen inte har någon ände. Om man hela tiden åker rakt fram, kommer man till slut till startpunkten. Så är det. Jag bestämmer mig för att pappersremsan i form av en åtta är ett exempel på denna slags begränsad oändlighet eller icke ändlighet.

Hur är det då med universum som Jorden är en del av? Är universum oändligt? Finns det en oändlig mängd stjärnor? Har universum oändlig volym som kan sträcka ut sig i det oändliga när det finns behov för det, till exempel om det oändliga antalet stjärnor ökar lite till? Är universum begränsat eller obegränsat? Tänk om det fungerar i universum som på Jorden, att om man flyger med rymdskepp rakt fram tillräckligt länge, så kommer man kanske till slut till startpunkten igen. Hur kan man veta vad som är sant och inte sant när man inte kan testa? En fascinerande tanke, lika sannolik som någon annan. Enligt mig som inte vet nånting om kosmologi, vill säga.

Just det här med oändlig mängd och oändlig volym är extra komplicerad. Har gjort lite research i frågan och hamnat på Hilberts hotell. Eller Hilberts hotelparadox. Det används ofta för att illustrera begreppet oändligheten. Mycket intressant.

Anta att det finns ett hotell med oändligt många rum. En viss kväll är alla rummen fulla. Då kommer en person till som vill övernatta på hotellet. Hur gör Hilbert? Han ber helt enkelt alla gäster att flytta till det rum som har nästa rumsnummer. På så sätt flyttar alltså gästen i rum nr 1 till rum nr 2 och gästen i 2:an till 3:an osv i oändligheten. Detta medför att rum nr 1 nu är ledigt för den nya gästen.

En utökning av exemplet brukar också användas:
Senare samma kväll kommer en oändlig lång buss med oändligt många turister till hotellet. Hur gör Hilbert nu? Han kan ju inte be varje gäst att flytta till det rum som ligger oändligt långt bort. Han löser dock detta enkelt genom att låta varje gäst flytta till det rummet som har ett nr som är dubbelt så stort som det rummer hon bor i. På så sätt blir alla ojämna rum lediga, och dessa är oändligt många! Det vill säga en oändlighet ryms inom en annan oändlighet...

Jag fattar, men är ändå inte säker på att jag förstår. Men det är roligt att ibland ägna sig åt svindlande tankar bortom tid och rum.

1 kommentar:

Annika sa...

Hej!

Det finns ytterligare en fortsättning på Hilberts Hotell-problemet och det är att det kommer oändligt många oändligt stora bussar fulla med passagerare till nämnda hotell och i receptionen finner man man på råd. Jag har en hemsida www.hilbertshotell.net där det finns länkar till lite mer om detta hotell bl a till ett par filmer via Wikipedia om hur man stoppar alla passagerare och samtidigt hitter att sätt att visa att alla rationella tal är uppräkneliga. På min hemsida finns och en länk till några roliga visor med anknytning till matematik bl a en vers om Hilberts Hotell.

Jag säger på hemsidan också varför jag kallar den just för Hilberts Hotell.